1994 APMO 第 1 题

Let $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a function such that
(i) For all $x, y \in \mathbb{R}$,

$$f(x)+f(y)+1 \geq f(x+y) \geq f(x)+f(y)$$

(ii) For all $x \in[0,1), f(0) \geq f(x)$,
(iii) $-f(-1)=f(1)=1$.

Find all such functions $f$.

Answer: $f(x)=\lfloor x\rfloor$, the largest integer that does not exceed $x$, is the only function.

设 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个函数，使得

(i) 对于所有 $x, y \in \mathbb{R}$，

$$f(x)+f(y)+1 \geq f(x+y) \geq f(x)+f(y)$$

(ii) 对于所有 $x \in[0,1), f(0) \geq f(x)$，

(iii)$-f(-1)=f(1)=1$。

找到所有这样的函数$f$。
答案：$f(x)=\lfloor x\rfloor$，不超过$x$的最大整数，是唯一的函数。