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番外 · 闲灯 / 亚太数学奥林匹克 / P5 · functional-equations

2010 APMO 第 5 题

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内容 2010 · 110
来源 context

题面据 APMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

APMO 2010 P5 functional-equations

Find all functions ff from the set R\mathbf{R} of real numbers into R\mathbf{R} which satisfy for all x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbf{R} the identity

$$

f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2 x y+f(z))+2 f(x z-y z) .

$$

从实数集合 R\mathbf{R} 中查找 ff 到 R\mathbf{R} 中的所有函数，这些函数满足所有 x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbf{R} 的恒等式

f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)−f(y))+f(2xy+f(z))+2f(xz−yz)。f(f(x)+f(y)+f(z))=f(f(x)-f(y))+f(2 x y+f(z))+2 f(x z-y z) 。

提示 1

先代入 0、1、相等变量或会让一边简化的值。

提示 2

检查方程是否强迫单调、周期、单射、满射或常值。

提示 3

把递推链闭合，最后回代验证所有解。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2010 年 APMO P5 可先归入函数方程：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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