2019 APMO 第 1 题

Let $\mathbb{Z}^{+}$be the set of positive integers. Determine all functions $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$ such that $a^{2}+f(a) f(b)$ is divisible by $f(a)+b$ for all positive integers $a$ and $b$.

Answer: The answer is $f(n)=n$ for all positive integers $n$.

Clearly, $f(n)=n$ for all $n \in \mathbb{Z}^{+}$satisfies the original relation. We show some possible approaches to prove that this is the only possible function.

令 $\mathbb{Z}^{+}$ 为正整数集合。确定所有函数 $f: \mathbb{Z}^{+} \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$，使得对于所有正整数 $a$ 和 $b$，$a^{2}+f(a) f(b)$ 可被 $f(a)+b$ 整除。

答案：对于所有正整数 $n$，答案是 $f(n)=n$。
显然，对于所有$n \in \mathbb{Z}^{+}$，$f(n)=n$ 满足原始关系。我们展示了一些可能的方法来证明这是唯一可能的函数。