1997 APMO 第 4 题

Triangle $A_1 A_2 A_3$ has a right angle at $A_3$ . A sequence of points is now defined by the following iterative process, where $n$ is a positive integer. From $A_n$ ( $n \geq 3$ ), a perpendicular line is drawn to meet $A_{n-2}A_{n-1}$ at $A_{n+1}$ .

(a) Prove that if this process is continued indefinitely, then one and only one point $P$ is interior to every triangle $A_{n-2} A_{n-1} A_{n}$ , $n \geq 3$ .

(b) Let $A_1$ and $A_3$ be fixed points. By considering all possible locations of $A_2$ on the plane, find the locus of $P$ .

三角形 $A_1 A_2 A_3$ 在 $A_3$ 处有一个直角。现在通过以下迭代过程定义点序列，其中 $n$ 是正整数。从 $A_n$ ( $n \geq 3$ ) 开始，绘制一条垂直线在 $A_{n+1}$ 处与 $A_{n-2}A_{n-1}$ 相交。

(a) 证明如果这个过程无限地继续下去，则只有一个点 $P$ 位于每个三角形 $A_{n-2} A_{n-1} A_{n}$ 、 $n \geq 3$ 的内部。

(b) 令$A_1$ 和$A_3$ 为不动点。通过考虑平面上$A_2$的所有可能位置，找到$P$的轨迹。