2019 APMO 第 3 题

Let $A B C$

be a scalene triangle with circumcircle $\Gamma$. Let $M$ be the midpoint of $B C$. A variable point $P$ is selected in the line segment $A M$. The circumcircles of triangles $B P M$ and $C P M$ intersect $\Gamma$ again at points $D$ and $E$, respectively. The lines $D P$ and $E P$ intersect (a second time) the circumcircles to triangles $C P M$ and $B P M$ at $X$ and $Y$, respectively. Prove that as $P$ varies, the circumcircle of $\triangle A X Y$ passes through a fixed point $T$ distinct from $A$.

让$A B C$

是一个带有外接圆 $\Gamma$ 的不等边三角形。令 $M$ 为 $B C$ 的中点。在线段$A M$ 中选择变量点$P$。三角形 $B P M$ 和 $C P M$ 的外接圆再次分别与 $\Gamma$ 相交于点 $D$ 和 $E$。线 $D P$ 和 $E P$ 分别在 $X$ 和 $Y$ 处与外接圆相交(第二次)到三角形 $C P M$ 和 $B P M$。证明当$P$变化时，$\triangle A X Y$的外接圆通过与$A$不同的固定点$T$。