1998 APMO 第 1 题

Let $F$ be the set of all $n$ -tuples $(A_1, \ldots, A_n)$ such that each $A_{i}$ is a subset of $\{1, 2, \ldots, 1998\}$ . Let $|A|$ denote the number of elements of the set $A$ . Find

$$\sum_{(A_1, \ldots, A_n)\in F} |A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n|$$

令 $F$ 为所有 $n$ 元组 $(A_1, \ldots, A_n)$ 的集合，使得每个 $A_{i}$ 都是 $\{1, 2, \ldots, 1998\}$ 的子集。令 $|A|$ 表示集合 $A$ 的元素数量。查找

$$\sum_{(A_1, \ldots, A_n)\in F} |A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n|$$