2014 APMO 第 5 题

Circles $\omega$ and $\Omega$ meet at points $A$ and $B$. Let $M$ be the midpoint of the $\operatorname{arc} A B$ of circle $\omega$ ( $M$ lies inside $\Omega$ ). A chord $M P$ of circle $\omega$ intersects $\Omega$ at $Q(Q$ lies inside $\omega)$. Let $\ell_{P}$ be the tangent line to $\omega$ at $P$, and let $\ell_{Q}$ be the tangent line to $\Omega$ at $Q$. Prove that the circumcircle of the triangle formed by the lines $\ell_{P}, \ell_{Q}$, and $A B$ is tangent to $\Omega$. (Ilya Bogdanov, Russia and Medeubek Kungozhin, Kazakhstan)

圆 $\omega$ 和 $\Omega$ 在点 $A$ 和 $B$ 处相交。令 $M$ 为圆 $\omega$ 的 $\operatorname{arc} A B$ 的中点( $M$ 位于 $\Omega$ 内部)。圆 $\omega$ 的弦 $M P$ 与 $\Omega$ 相交于 $Q(Q$ 位于 $\omega)$ 内部。令$\ell_{P}$ 为$\omega$ 在$P$ 处的切线，并令$\ell_{Q}$ 为$\Omega$ 在$Q$ 处的切线。证明$\ell_{P}、\ell_{Q}$ 和$A B$ 所形成的三角形的外接圆与$\Omega$ 相切。 (Ilya Bogdanov，俄罗斯和 Medeubek Kungozhin，哈萨克斯坦)