2018 APMO 第 2 题

Let $f(x)$ and $g(x)$ be given by

$$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}+\cdots+\frac{1}{x-2018}$$

and

$$g(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-5}+\cdots+\frac{1}{x-2017} .$$

Prove that

$$|f(x)-g(x)|>2$$

for any non-integer real number $x$ satisfying $0<x<2018$.

让 $f(x)$ 和 $g(x)$ 由下式给出

$$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-4}+\cdots+\frac{1}{x-2018}$$

和

$$g(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-5}+\cdots+\frac{1}{x-2017} 。$$

证明

$$|f(x)-g(x)|>2$$

对于任何满足 $0<x<2018$ 的非整数实数 $x$。