2014 APMO 第 4 题

Let $n$ and $b$ be positive integers. We say $n$ is $b$-discerning if there exists a set consisting of $n$ different positive integers less than $b$ that has no two different subsets $U$ and $V$ such that the sum of all elements in $U$ equals the sum of all elements in $V$.

(a) Prove that 8 is a 100 -discerning.

(b) Prove that 9 is not 100-discerning.

(Senior Problems Committee of the Australian Mathematical Olympiad Committee)

令 $n$ 和 $b$ 为正整数。如果存在一个由 $n$ 个小于 $b$ 的不同正整数组成的集合，并且不存在两个不同的子集 $U$ 和 $V$，使得 $U$ 中所有元素的总和等于 $V$ 中所有元素的总和，我们称 $n$ 是 $b$ 判别性的。

(a) 证明 8 是 100 的辨识度。

(b) 证明 9 不是 100 辨别的。

(澳大利亚数学奥林匹克委员会高级题委员会)