2016 APMO 第 1 题

We say that a triangle $A B C$ is great if the following holds: for any point $D$ on the side $B C$, if $P$ and $Q$ are the feet of the perpendiculars from $D$ to the lines $A B$ and $A C$, respectively, then the reflection of $D$ in the line $P Q$ lies on the circumcircle of the triangle $A B C$.

Prove that triangle $A B C$ is great if and only if $\angle A=90^{\circ}$ and $A B=A C$.

如果以下条件成立，我们就说三角形 $A B C$ 是大三角形：对于边 $B C$ 上的任何点 $D$，如果 $P$ 和 $Q$ 分别是从 $D$ 到线 $A B$ 和 $A C$ 的垂线的脚，则 $D$ 在线 $P Q$ 上的反射位于三角形 $A B C$ 的外接圆上。

证明三角形$A B C$ 是伟大的当且仅当$\angle A=90^{\circ}$ 且$A B=A C$。