题面据 APMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
Consider a board with integers in each unit square. Two unit squares are said to be neighbours if they share a common edge. In each turn, you choose some unit squares. Then for each chosen unit square the average of all its neighbours is calculated. Finally, after these calculations are done, the number in each chosen unit square is replaced by the corresponding average. Is it always possible to make the numbers in all squares become the same after finitely many turns?
Answer: No
考虑一个 2018 美元×2019 美元的棋盘，每个单位方块中都有整数。如果两个单位正方形有共同的边，则称它们为邻居。 In each turn, you choose some unit squares.然后，对于每个选定的单位方块，计算其所有邻居的平均值。最后，完成这些计算后，每个选定的单位方块中的数字将替换为相应的平均值。是否总有可能在有限次数后使所有方格中的数字变得相同？
答案：没有
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2019 年 APMO P4 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？