内容 2015 · 132
来源 context
题面据 APMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
Let denote the set of integers that are greater than or equal to 2 . Does there exist a function such that
$$
f(a) f(b)=f\left(a^{2} b^{2}\right) \text { for all } a, b \in S \text { with } a \neq b ?
$$
令 表示大于或等于 2 的整数集。是否存在一个函数 使得
$$
f(a) f(b)=f\left(a^{2} b^{2}\right) \text { 对于所有 } a, b \in S \text { 和 } a \neq b ？
$$
提示 1
先看同余、整除、最大公因数和 p 进赋值。
提示 2
把整数条件转成同余方程、指数比较或下降过程。
提示 3
若要存在性，用构造；若要唯一性，用最小反例、无限下降或模限制。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2015 年 APMO P2 可先归入数论：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
闲谈 aside
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？
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