2001 APMO 第 2 题

For a positive integer $n$ let $S(n)$ be the sum of digits in the decimal representation of $n$ . Any positive integer obtained by removing several (at least one) digits from the right-hand end of the decimal representation of $n$ is called a *stump* of $n$ . Let $T(n)$ be the sum of all stumps of $n$ . Prove that $n=S(n)+9T(n)$ .

对于正整数 $n$ ，令 $S(n)$ 为 $n$ 的十进制表示形式中的数字之和。通过从 $n$ 的十进制表示形式的右端删除几个(至少一位)数字而获得的任何正整数称为 $n$ 的 *stump* 。令 $T(n)$ 为 $n$ 的所有树桩的总和。证明 $n=S(n)+9T(n)$ 。