2016 APMO 第 3 题

Let $A B$ and $A C$ be two distinct rays not lying on the same line, and let $\omega$ be a circle with center $O$ that is tangent to ray $A C$ at $E$ and ray $A B$ at $F$. Let $R$ be a point on segment $E F$. The line through $O$ parallel to $E F$ intersects line $A B$ at $P$. Let $N$ be the intersection of lines $P R$ and $A C$, and let $M$ be the intersection of line $A B$ and the line through $R$ parallel to $A C$. Prove that line $M N$ is tangent to $\omega$.

令$A B$ 和$A C$ 为不在同一直线上的两条不同射线，并令$\omega$ 为以$O$ 为圆心的圆，该圆与$E$ 处的射线$A C$ 和$F$ 处的射线$A B$ 相切。令 $R$ 为线段 $E F$ 上的一点。穿过 $O$ 并与 $E F$ 平行的线与线 $A B$ 相交于 $P$。令$N$ 为线$P R$ 和$A C$ 的交点，并令$M$ 为线$A B$ 与穿过$R$ 且平行于$A C$ 的线的交点。证明线 $M N$ 与 $\omega$ 相切。