1999 APMO 第 2 题

Let $a_{1}, a_{2}, \cdots$ be a sequence of real numbers satisfying $a_{i+j} \leq a_{i}+a_{j}$ for all $i, j=1,2, \cdots$. Prove that

$$a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\frac{a_{3}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n} \geq a_{n}$$

for each positive integer $n$.

令 $a_{1}, a_{2}, \cdots$ 为对于所有 $i, j=1,2, \cdots$ 满足 $a_{i+j} \leq a_{i}+a_{j}$ 的实数序列。证明

$$a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\frac{a_{3}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n} \geq a_{n}$$

对于每个正整数 $n$。