2015 APMO 第 3 题

A sequence of real numbers $a_{0}, a_{1}, \ldots$ is said to be good if the following three conditions hold.
(i) The value of $a_{0}$ is a positive integer.
(ii) For each non-negative integer $i$ we have $a_{i+1}=2 a_{i}+1$ or $a_{i+1}=\frac{a_{i}}{a_{i}+2}$.
(iii) There exists a positive integer $k$ such that $a_{k}=2014$.

Find the smallest positive integer $n$ such that there exists a good sequence $a_{0}, a_{1}, \ldots$ of real numbers with the property that $a_{n}=2014$.

Answer: 60.

如果满足以下三个条件，则实数序列 $a_{0}, a_{1}, \ldots$ 被认为是好的。

(i) $a_{0}$ 的值为正整数。

(ii) 对于每个非负整数 $i$，我们有 $a_{i+1}=2 a_{i}+1$ 或 $a_{i+1}=\frac{a_{i}}{a_{i}+2}$。

(iii) 存在正整数$k$使得$a_{k}=2014$。

找到最小的正整数 $n$，使得存在良好的实数序列 $a_{0}, a_{1}, \ldots$，其属性为 $a_{n}=2014$。

答案：60。