1994 APMO 第 5 题

You are given three lists $A, B$, and $C$. List $A$ contains the numbers of the form $10^{k}$ in base 10, with $k$ any integer greater than or equal to 1 . Lists $B$ and $C$ contain the same numbers translated into base 2 and 5 respectively:

| $A$ | $B$ | $C$ |
| :--- | :--- | :--- |
| 10 | 1010 | 20 |
| 100 | 1100100 | 400 |
| 1000 | 1111101000 | 13000 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |

Prove that for every integer $n>1$, there is exactly one number in exactly one of the lists $B$ or $C$ that has exactly $n$ digits.

给您三个列表 $A、B$ 和 $C$。列表 $A$ 包含以 10 为基数的 $10^{k}$ 形式的数字，其中 $k$ 是大于或等于 1 的任何整数。列表 $B$ 和 $C$ 包含分别转换为基数 2 和 5 的相同数字：

| $A$ | $B$ | $C$ |
| :--- | :--- | :--- |
| 10 | 10 1010 | 1010 20 |
| 100 | 100 1100100 | 400 |
| 1000 | 1000 1111101000 | 13000 |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |

证明对于每个整数 $n>1$，在列表 $B$ 或 $C$ 中恰好有一个数字恰好具有 $n$ 位。