1997 APMO 第 3 题

Given:

$$S = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1} {6}} + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1} {1993006}}$$

where the denominators contain partial sums of the sequence of reciprocals of triangular numbers (i.e. $k=\frac{n(n+1)}{2}$ for $n = 1$ , $2$ , $\ldots$ , $1996$ ). Prove that $S>1001$ .

鉴于：

$$S = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1} {6}} + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1} {1993006}}$$

其中分母包含三角形数倒数序列的部分和(即 $k=\frac{n(n+1)}{2}$ 对于 $n = 1$ 、 $2$ 、 $\ldots$ 、 $1996$ )。证明 $S>1001$ 。