2008 APMO 第 3 题

Let $\Gamma$ be the circumcircle of a triangle $A B C$. A circle passing through points $A$ and $C$ meets the sides $B C$ and $B A$ at $D$ and $E$, respectively. The lines $A D$ and $C E$ meet $\Gamma$ again at $G$ and $H$, respectively. The tangent lines of $\Gamma$ at $A$ and $C$ meet the line $D E$ at $L$ and $M$, respectively. Prove that the lines $L H$ and $M G$ meet at $\Gamma$.

令 $\Gamma$ 为三角形 $A B C$ 的外接圆。通过点 $A$ 和 $C$ 的圆分别在 $D$ 和 $E$ 处与边 $B C$ 和 $B A$ 相交。 $A D$ 和 $C E$ 线分别在 $G$ 和 $H$ 处再次与 $\Gamma$ 相交。 $\Gamma$ 在$A$ 和$C$ 处的切线分别在$L$ 和$M$ 处与$D E$ 相交。证明线 $L H$ 和 $M G$ 在 $\Gamma$ 处相交。