2017 APMO 第 4 题

Call a rational number $r$ powerful if $r$ can be expressed in the form $\frac{p^{k}}{q}$ for some relatively prime positive integers $p, q$ and some integer $k>1$. Let $a, b, c$ be positive

rational numbers such that $a b c=1$. Suppose there exist positive integers $x, y, z$ such that $a^{x}+b^{y}+c^{z}$ is an integer. Prove that $a, b, c$ are all powerful.

如果对于某些相对质数正整数 $p、q$ 和某些整数 $k>1$，$r$ 可以以 $\frac{p^{k}}{q}$ 的形式表示，则称有理数 $r$ 为强大的。设$a,b,c$为正数

有理数使得$a b c=1$。假设存在正整数$x,y,z$，使得$a^{x}+b^{y}+c^{z}$是整数。证明$a、b、c$都是强大的。