2024 APMO 第 1 题

Let $A B C$ be an acute triangle. Let $D$ be a point on side $A B$ and $E$ be a point on side $A C$ such that lines $B C$ and $D E$ are parallel. Let $X$ be an interior point of $B C E D$. Suppose rays $D X$ and $E X$ meet side $B C$ at points $P$ and $Q$, respectively such that both $P$ and $Q$ lie between $B$ and $C$. Suppose that the circumcircles of triangles $B Q X$ and $C P X$ intersect at a point $Y \neq X$. Prove that points $A, X$, and $Y$ are collinear.

令$A B C$ 为锐角三角形。设 $D$ 为 $A B$ 边上的点，$E$ 为 $A C$ 边上的点，使得线 $B C$ 和 $D E$ 平行。令$X$ 为$B C E D$ 的内点。假设射线 $D X$ 和 $E X$ 分别在点 $P$ 和 $Q$ 处与边 $B C$ 相交，使得 $P$ 和 $Q$ 都位于 $B$ 和 $C$ 之间。假设三角形 $B Q X$ 和 $C P X$ 的外接圆相交于点 $Y \neq X$。证明点 $A、X$ 和 $Y$ 共线。