2004 APMO 第 3 题

Let a set $S$ of 2004 points in the plane be given, no three of which are collinear. Let $\mathcal{L}$ denote the set of all lines (extended indefinitely in both directions) determined by pairs of points from the set. Show that it is possible to colour the points of $S$ with at most two colours, such that for any points $p, q$ of $S$, the number of lines in $\mathcal{L}$ which separate $p$ from $q$ is odd if and only if $p$ and $q$ have the same colour.

Note: A line $\ell$ separates two points $p$ and $q$ if $p$ and $q$ lie on opposite sides of $\ell$ with neither point on $\ell$.

给定平面上 2004 个点的集合 $S$，其中没有三个点共线。令 $\mathcal{L}$ 表示由该集合中的点对确定的所有线的集合(在两个方向上无限延伸)。证明可以用至多两种颜色对 $S$ 的点进行着色，使得对于 $S$ 的任何点 $p, q$，当且仅当 $p$ 和 $q$ 具有相同颜色时，$\mathcal{L}$ 中将 $p$ 与 $q$ 分开的线数为奇数。

注意：如果 $p$ 和 $q$ 位于 $\ell$ 的相对两侧且两个点都不在 $\ell$ 上，则线 $\ell$ 分隔两个点 $p$ 和 $q$。