2023 APMO 第 4 题

Let $c>0$ be a given positive real and $\mathbb{R}_{>0}$ be the set of all positive reals. Find all functions $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ such that

$$f((c+1) x+f(y))=f(x+2 y)+2 c x \quad \text { for all } x, y \in \mathbb{R}_{>0}$$

Answer: $f(x)=2 x$ for all $x>0$.

令 $c>0$ 为给定的正实数，$\mathbb{R}_{>0}$ 为所有正实数的集合。找到所有函数 $f: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ 使得

$$

f((c+1) x+f(y))=f(x+2 y)+2 c x \quad \text { 对于所有 } x, y \in \mathbb{R}_{>0}

$$

答案：对于所有$x>0$，$f(x)=2 x$。