2011 APMO 第 5 题

Determine all functions $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , where $\mathbb{R}$ is the set of all real numbers, satisfying the following two conditions:

1) There exists a real number $M$ such that for every real number $x,f(x)<M$ is satisfied.

2) For every pair of real numbers $x$ and $y$ ,

$$f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)$$

is satisfied.

确定所有函数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ，其中 $\mathbb{R}$ 是所有实数的集合，满足以下两个条件：

1) 存在一个实数$M$，对于每个实数$x，满足f(x)<M$。

2) 对于每对实数 $x$ 和 $y$ ，

$$f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)$$

很满意。