内容 第一章 · 同余的一般概念 · 10
术语线索
functio algebraica / coefficientes integri
代数函数 / 整系数。
命题
An integer-coefficient polynomial takes congruent inputs to congruent outputs.
整系数多项式会把同余的输入送到同余的输出。
读法 现代白话辅助
这是第一章最重要的抽象化。只要多项式系数是整数，代入同一个剩余类的不同代表，输出仍在同一个剩余类里。因此模 m 下讨论多项式方程是有意义的。
分步证明Step-by-step proof
1 / 2同余的数取幂仍同余。
同余的幂乘以整数系数后仍同余，再把各项相加即可。
小例 worked example
题
令 f(x) = x² + 3x + 1。若 x ≡ 4 (mod 7)，求 f(x) 的模 7 剩余。
解
f(x) ≡ 4² + 3 · 4 + 1 = 29 ≡ 1 (mod 7)。
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