内容 第二章 · 一次同余方程 · 17
术语线索
ax + b / modulus primus ad a / omnes residua
线性表达式 / 系数与模数互素 / 扫过全部剩余。
命题
If a is coprime to m, the expression ax + b can be congruent to any prescribed residue modulo m.
若 a 与 m 互素，ax + b 模 m 可以取到任意指定剩余。
读法 现代白话辅助
这就是逆元存在的实质。乘以 a 会把一整套剩余代表重新排列；再加 b 只是整体平移，因此不会漏掉任何剩余类。
分步证明Step-by-step proof
1 / 2x 取 0 到 m-1 时，ax 的剩余互不相同。
互不相同且数量为 m，所以它们正好是全部剩余类。
小例 worked example
题
模 7 下，3x + 1 能不能等于 5？
解
要 3x ≡ 4 (mod 7)。因为 3 · 6 = 18 ≡ 4，所以 x ≡ 6 (mod 7)。
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