内容 第三章 · 幂剩余 · 30
术语线索
theorema Fermatianum / a^(p-1) ≡ 1
费马小定理 / a^(p-1) ≡ 1。
命题
If p is prime and p does not divide a, then a^(p-1) is congruent to 1 modulo p.
若 p 为素数且 p 不整除 a，则 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
读法 现代白话辅助
既然 a 的阶整除 p-1，a^(p-1) 就必然回到 1。高斯把费马小定理放进幂周期框架，而不是把它当成孤立技巧。
分步证明Step-by-step proof
1 / 2设 a 的阶为 t，则 t | (p-1)。
写 p-1=qt，于是 a^(p-1)=(a^t)^q≡1。
小例 worked example
题
计算 3^10 模 11。
解
11 为素数且 11 不整除 3，所以 3^10 ≡ 1 (mod 11)。
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