内容 第四章 · 二次同余 · 45
术语线索
productum residuorum / productum non-residuorum
剩余的乘积 / 非剩余的乘积。
命题
Residue times residue is a residue, residue times nonresidue is a nonresidue, and nonresidue times nonresidue is a residue.
剩余乘剩余仍是剩余；剩余乘非剩余是非剩余；非剩余乘非剩余又是剩余。
读法 现代白话辅助
这三条让二次剩余有了类似符号乘法的规则。现代会写成勒让德符号的乘法性；高斯在这里用分类和计数证明。
分步证明Step-by-step proof
1 / 2两个平方的乘积仍是平方。
用“一半一半”的计数排除剩余乘非剩余仍为剩余的可能。
小例 worked example
题
模 7 下，3 是非剩余，5 是非剩余。3·5=15≡1 是什么？
解
1 是平方剩余。非剩余乘非剩余得到剩余。
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