内容 第四章 · 二次同余 · 53
术语线索
theorema fundamentale / reciprocitas quadratica / symbolum Legendre
基本定理 / 二次互反律 / 勒让德符号。
命题
For distinct odd primes p and q, the Legendre symbols satisfy (p/q)(q/p)=(-1)^(((p-1)/2)((q-1)/2)).
对不同奇素数 p、q，有 (p/q)(q/p)=(-1)^(((p-1)/2)((q-1)/2))。
读法 现代白话辅助
这就是二次互反律的现代压缩写法：除非 p 与 q 都是 3 mod 4，否则“p 是 q 的平方剩余”和“q 是 p 的平方剩余”同真同假；若二者都为 3 mod 4，则一真一假。
分步证明Step-by-step proof
1 / 2先把“a 是模 p 的二次剩余”记成 (a/p)=1，非剩余记成 -1。
互反律说明交换 p 与 q 时符号如何变化：只有双 3 mod 4 才变号。
小例 worked example
题
用互反律判断 7 是否为模 11 的二次剩余。
解
7≡3 (mod 4)，11≡3 (mod 4)，所以变号。(7/11)=-(11/7)=-(4/7)。4 是模 7 的平方剩余，所以 (7/11)=-1，7 不是模 11 的二次剩余。
范围边界 context
本 unit 只陈述二次互反律并演示读法，不收完整证明。issue 53 明确把完整证明放到 M5+，因此这里不伪装成已完成证明。
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