内容 第四章 · 二次同余 · 44
术语线索
dimidia pars / p primus impar / indices pares
一半 / 奇素数模数 / 偶指标。
命题
Modulo an odd prime p, exactly half of the nonzero residues are quadratic residues.
模奇素数 p 时，非零剩余中恰有一半是二次剩余。
读法 现代白话辅助
平方把 r 和 -r 送到同一个剩余，所以最多只有一半。高斯再用素数模数下的根数上界说明这些平方互不混乱，正好得到一半。
分步证明Step-by-step proof
1 / 21² 到 ((p-1)/2)² 给出互不相同的平方剩余。
其余非零剩余就都是二次非剩余。
小例 worked example
题
模 11 下有多少个非零二次剩余？
解
(11-1)/2=5 个。它们是 1,3,4,5,9。
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