内容 第四章 · 二次同余 · 48
术语线索
residuum -1 / p ≡ 1 mod 4
-1 的剩余性 / p ≡ 1 mod 4。
命题
For an odd prime p, -1 is a quadratic residue exactly when p is congruent to 1 modulo 4.
对奇素数 p，-1 是二次剩余，当且仅当 p ≡ 1 (mod 4)。
读法 现代白话辅助
这是二次剩余理论的第一个漂亮分类。它把“有没有平方根 -1”转成了素数 p 除以 4 的余数。
分步证明Step-by-step proof
1 / 2用欧拉判别：(-1)^((p-1)/2)。
当 (p-1)/2 为偶数，即 p≡1 mod 4 时结果为 1；否则为 -1。
小例 worked example
题
模 13 下 -1 有没有平方根？
解
13≡1 (mod 4)，有。实际上 5²=25≡-1 (mod 13)。
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