内容 第二章 · 一次同余方程 · 18
术语线索
congruentia primi gradus / radix / solutio completa
一次同余 / 根 / 完全解。
命题
A linear congruence ax + b ≡ c has one residue-class solution modulo m when gcd(a, m) = 1.
当 gcd(a,m)=1 时，一次同余 ax + b ≡ c 模 m 有唯一的剩余类解。
读法 现代白话辅助
“唯一”不是说只有一个整数解，而是说所有整数解同属一个模 m 剩余类。高斯把这一点讲清楚，避免把无限多整数解误看成多种解。
分步证明Step-by-step proof
1 / 2存在性来自上一条：ax+b 可以扫过每个剩余。
若有两个解，二者相减得到 a(v-t) ≡ 0；因 a 可约去，所以 v ≡ t。
小例 worked example
题
求 6x + 5 ≡ 13 (mod 11)。
解
等价于 6x ≡ 8 (mod 11)。6 · 5 = 30 ≡ 8，所以 x ≡ 5 (mod 11)。
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