1974 USAMO 第 5 题

Consider the two triangles $\triangle ABC$ and $\triangle PQR$ shown in Figure 1. In $\triangle ABC$, $\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 120^\circ$. Prove that $x=u+v+w$.

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[asy] size(400); defaultpen(1); pair C=(0,1), A=(1,6), B=(4,1), D=(1.5,2); draw(D--A--B--C--D--B); draw(A--C); label("$A$",A,N); label("$B$",B,ESE); label("$C$",C,SW); label("$D$",D,NE); label("$a$",(B+C)/2,S); label("$b$",(C+A)/2,WNW); label("$c$",(A+B)/2,NE); label("$u$",(A+D)/2,E); label("$v$",(B+D)/2,N); label("$w$",(C+D)/2,N); pair P=(7,0), Q=(14,0), R=P+7expi(pi/3), M=(10,1.2); draw(M--P--Q--R--M--Q); draw(P--R); label("$P$",P,W); label("$Q$",Q,E); label("$R$",R,W); label("$M$",M,NE); label("$x$",(P+Q)/2,S); label("$x$",(Q+R)/2,E); label("$x$",(R+P)/2,W); label("$a$",(P+M)/2,SE); label("$b$",(Q+M)/2,N); label("$c$",(R+M)/2,E); label("Figure 1",P-(0,1),S); [/asy]

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考虑图 1 中所示的两个三角形 $\triangle ABC$ 和 $\triangle PQR$。在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ADB = \angle BDC = \angle CDA = 120^\circ$。证明$x=u+v+w$。

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[asy] 大小(400);默认笔(1)；对 C=(0,1)、A=(1,6)、B=(4,1)、D=(1.5,2)；绘制(D--A--B--C--D--B)；画(A--C);标签(“$A$”，A，N)；标签(“$B$”，B，ESE)；标签(“$C$”，C，SW)；标签(“$D$”，D，NE)；标签(“$a$”,(B+C)/2,S);标签("$b$",(C+A)/2,WNW);标签(“$c$”,(A+B)/2,NE);标签(“$u$”,(A+D)/2,E);标签("$v$",(B+D)/2,N);标签(“$w$”,(C+D)/2,N);对 P=(7,0)，Q=(14,0)，R=P+7expi(pi/3)，M=(10,1.2)；绘制(M--P--Q--R--M--Q)；画(P--R);标签(“$P$”，P，W)；标签(“$Q$”，Q，E)；标签(“$R$”，R，W)；标签(“$M$”，M，NE)；标签(“$x$”,(P+Q)/2,S);标签("$x$",(Q+R)/2,E);标签(“$x$”,(R+P)/2,W);标签("$a$",(P+M)/2,SE);标签("$b$",(Q+M)/2,N);标签(“$c$”,(R+M)/2,E); label("图1",P-(0,1),S); [/asy]

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