2020 USAMO 第 3 题

Let $p$ be an odd prime. An integer $x$ is called a quadratic non-residue if $p$ does not divide $x - t^2$ for any integer $t$.

Denote by $A$ the set of all integers $a$ such that $1 \le a < p$, and both $a$ and $4 - a$ are quadratic non-residues. Calculate the remainder when the product of the elements of $A$ is divided by $p$.

令 $p$ 为奇素数。如果对于任何整数 $t$，$p$ 不能整除 $x - t^2$，则整数 $x$ 称为二次非余数。

用 $A$ 表示所有整数 $a$ 的集合，使得 $1 \le a < p$，并且 $a$ 和 $4 - a$ 都是二次非余数。计算$A$的元素的乘积除以$p$时的余数。