2022 USAMO 第 3 题

Let $\mathbb{R}_{>0}$ be the set of all positive real numbers. Find all functions $f:\mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ such that for all $x,y\in \mathbb{R}_{>0}$ we have

$$

f(x) = f(f(f(x)) + y) + f(xf(y)) f(x+y).

$$

令 $\mathbb{R}_{>0}$ 为所有正实数的集合。找到所有函数 $f:\mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}_{>0}$ 使得对于所有 $x,y\in \mathbb{R}_{>0}$ 我们有

$$f(x) = f(f(f(x)) + y) + f(xf(y)) f(x+y)。$$