2017 USAMO 第 5 题

Let $\mathbf{Z}$ denote the set of all integers. Find all real numbers $c > 0$ such that there exists a labeling of the lattice points $( x, y ) \in \mathbf{Z}^2$ with positive integers for which: only finitely many distinct labels occur, and for each label $i$, the distance between any two points labeled $i$ is at least $c^i$.

令 $\mathbf{Z}$ 表示所有整数的集合。找到所有实数 $c > 0$，使得存在正整数的格点 $( x, y ) \in \mathbf{Z}^2$ 的标记，其中：仅出现有限多个不同的标记，并且对于每个标记 $i$，标记为 $i$ 的任何两个点之间的距离至少为 $c^i$。