2015 USAMO 第 2 题

Quadrilateral $APBQ$ is inscribed in circle $\omega$ with $\angle P = \angle Q = 90^{\circ}$ and $AP = AQ < BP$. Let $X$ be a variable point on segment $\overline{PQ}$. Line $AX$ meets $\omega$ again at $S$ (other than $A$). Point $T$ lies on arc $AQB$ of $\omega$ such that $\overline{XT}$ is perpendicular to $\overline{AX}$. Let $M$ denote the midpoint of chord $\overline{ST}$. As $X$ varies on segment $\overline{PQ}$, show that $M$ moves along a circle.

四边形 $APBQ$ 内接于圆 $\omega$，且 $\angle P = \angle Q = 90^{\circ}$ 且 $AP = AQ < BP$。设$X$为线段$\overline{PQ}$上的变量点。 $AX$ 线在 $S$ 处再次与 $\omega$ 相遇($A$ 除外)。点$T$位于$\omega$的弧$AQB$上，使得$\overline{XT}$垂直于$\overline{AX}$。令 $M$ 表示弦 $\overline{ST}$ 的中点。由于 $X$ 在线段 $\overline{PQ}$ 上变化，表明 $M$ 沿圆周移动。