题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
There are users on a social network called Mathbook, and some of them are Mathbook-friends. (On Mathbook, friendship is always mutual and permanent.)
Starting now, Mathbook will only allow a new friendship to be formed between two users if they have at least two friends in common. What is the minimum number of friendships that must already exist so that every user could eventually become friends with every other user?
名为 Mathbook 的社交网络上有 2022 美元的用户，其中一些是 Mathbook 的朋友。 (在 Mathbook 上，友谊总是相互的、永久的。)
从现在开始，Mathbook 仅允许两个用户在至少有两个共同朋友的情况下建立新的友谊。为了使每个用户最终都能与其他用户成为朋友，必须已经存在的最少好友数量是多少？
提示 1
先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。
提示 2
试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。
提示 3
最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2022 年 USAMO P6 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？