2001 USAMO 第 2 题

Let $ABC$ be a triangle and let $\omega$ be its incircle. Denote by $D_1$ and $E_1$ the points where $\omega$ is tangent to sides $BC$ and $AC$, respectively. Denote by $D_2$ and $E_2$ the points on sides $BC$ and $AC$, respectively, such that $CD_2 = BD_1$ and $CE_2 = AE_1$, and denote by $P$ the point of intersection of segments $AD_2$ and $BE_2$. Circle $\omega$ intersects segment $AD_2$ at two points, the closer of which to the vertex $A$ is denoted by $Q$. Prove that $AQ = D_2P$.

设 $ABC$ 为三角形，$\omega$ 为其内切圆。 $D_1$ 和 $E_1$ 分别表示 $\omega$ 与边 $BC$ 和 $AC$ 相切的点。 $D_2$ 和 $E_2$ 分别表示边 $BC$ 和 $AC$ 上的点，使得 $CD_2 = BD_1$ 和 $CE_2 = AE_1$，并用 $P$ 表示线段 $AD_2$ 和 $BE_2$ 的交点。圆 $\omega$ 与线段 $AD_2$ 相交于两点，其中最靠近顶点 $A$ 的点用 $Q$ 表示。证明 $AQ = D_2P$。