1982 USAMO 第 2 题

Let $S_r=x^r+y^r+z^r$ with $x,y,z$ real. It is known that if $S_1=0$,

$(*)$ $\frac{S_{m+n}}{m+n}=\frac{S_m}{m}\frac{S_n}{n}$

for $(m,n)=(2,3),(3,2),(2,5)$, or $(5,2)$. Determine all other pairs of integers $(m,n)$ if any, so that $(*)$ holds for all real numbers $x,y,z$ such that $x+y+z=0$.

设 $S_r=x^r+y^r+z^r$ 为实数，$x,y,z$ 为实数。已知如果$S_1=0$，

$(*)$ $\frac{S_{m+n}}{m+n}=\frac{S_m}{m}\frac{S_n}{n}$

对于 $(m,n)=(2,3),(3,2),(2,5)$ 或 $(5,2)$。确定所有其他整数对 $(m,n)$(如果有)，以便 $(*)$ 对于所有实数 $x,y,z$ 成立，使得 $x+y+z=0$。