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番外 · 闲灯 / 美国数学奥林匹克 / P4 · algebra

2013 USAMO 第 4 题

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内容 2013 · 226
来源 context

题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

USAMO 2013 P4 algebra

Find all real numbers x,y,z≥1x,y,z\geq 1 satisfying

$$

\min(\sqrt{x+xyz},\sqrt{y+xyz},\sqrt{z+xyz})=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.

$$

找到所有满足 x,y,z≥1x,y,z\geq 1 的实数

min⁡(x+xyz,y+xyz,z+xyz)=x−1+y−1+z−1。\min(\sqrt{x+xyz},\sqrt{y+xyz},\sqrt{z+xyz})=\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}。

提示 1

先把题面里的关系改写成一个干净的代数对象。

提示 2

寻找不变量、对称式或一个可以降次数的替换。

提示 3

最后用判别式、因式分解、单调性或构造把所有可能排完。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。2013 年 USAMO P4 可先归入代数：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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