2016 USAMO 第 1 题

Let $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ be a sequence of mutually distinct nonempty subsets of a set $S$. Any two sets $X_i$ and $X_{i+1}$ are disjoint and their union is not the whole set $S$, that is, $X_i\cap X_{i+1}=\emptyset$ and $X_i\cup X_{i+1}\neq S$, for all $i\in\{1, \ldots, 99\}$. Find the smallest possible number of elements in $S$.

令 $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ 为集合 $S$ 的相互不同的非空子集的序列。任何两个集合 $X_i$ 和 $X_{i+1}$ 都是不相交的，并且它们的并集不是整个集合 $S$，即，对于所有 $i\in\{1, \ldots, 99\}$，$X_i\cap X_{i+1}=\emptyset$ 和 $X_i\cup X_{i+1}\neq S$。找出 $S$ 中尽可能少的元素数。