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番外 · 闲灯 / 美国数学奥林匹克 / P5 · combinatorics

1979 USAMO 第 5 题

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内容 1979 · 40
来源 context

题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

USAMO 1979 P5 combinatorics

Let A1,A2,...,An+1A_1,A_2,...,A_{n+1} be distinct subsets of [n][n] with ∣A1∣=∣A2∣=⋯=∣An+1∣=3|A_1|=|A_2|=\cdots =|A_{n+1}|=3. Prove that ∣Ai∩Aj∣=1|A_i\cap A_j|=1 for some pair {i,j}\{i,j\}.

令 A1,A2,...,An+1A_1,A_2,...,A_{n+1} 为 [n][n] 与 ∣A1∣=∣A2∣=⋯=∣An+1∣=3|A_1|=|A_2|=\cdots =|A_{n+1}|=3 的不同子集。证明 ∣Ai∩Aj∣=1|A_i\cap A_j|=1 对于某些对 {i,j}\{i,j\}。

提示 1

先决定对象是什么：集合、图、排列、颜色、路径，还是一次操作后的状态。

提示 2

找一个极端对象、双计数式、不变量，或把限制转成图上的局部条件。

提示 3

把局部限制累加成全局矛盾，或给出覆盖全部情形的构造。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1979 年 USAMO P5 可先归入组合：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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