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番外 · 闲灯 / 美国数学奥林匹克 / P4 · inequality

1987 USAMO 第 4 题

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内容 1987 · 79
来源 context

题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

USAMO 1987 P4 inequality

M is the midpoint of XY. The points P and Q lie on a line through Y on opposite sides of Y, such that ∣XQ∣=2∣MP∣|XQ| = 2|MP| and ∣XY∣2<∣MP∣<3∣XY∣2\frac{|XY|}2 < |MP| < \frac{3|XY|}2. For what value of ∣PY∣∣QY∣\frac{|PY|}{|QY|} is ∣PQ∣|PQ| a minimum?

M 是 XY 的中点。点 P 和 Q 位于穿过 Y 且位于 Y 两侧的直线上，使得 ∣XQ∣=2∣MP∣|XQ| = 2|MP| 和 ∣XY∣2<∣MP∣<3∣XY∣2\frac{|XY|}2 < |MP| < \frac{3|XY|}2。对于∣PY∣∣QY∣\frac{|PY|}{|QY|} 来说，∣PQ∣|PQ| 的最小值是多少？

提示 1

先猜等号形状，再看同次性、归一化和每一项的量纲。

提示 2

试着把式子拆成均值、柯西、凸性、重排或切线法可处理的块。

提示 3

最后检查等号条件和边界情形是否都与题设兼容。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1987 年 USAMO P4 可先归入不等式：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

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