题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。
Two given circles intersect in two points and . Show how to construct a segment passing through and terminating on the two circles such that is a maximum.
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[asy] size(150); defaultpen(fontsize(7)); pair A=(0,0), B=(10,0), P=(4,0), Q=(3.7,-2.5); draw(A--B); draw(circumcircle(A,P,Q)); draw(circumcircle(B,P,Q)); label("A",A,(-1,1));label("P",P,(0,1.5));label("B",B,(1,1));label("Q",Q,(-0.5,-1.5)); [/asy]
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两个给定的圆相交于两点 和 。展示如何构造一条穿过 并终止于两个圆的线段 ，使得 为最大值。
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[asy] 大小(150);默认笔(字体大小(7))；对 A=(0,0)、B=(10,0)、P=(4,0)、Q=(3.7,-2.5)；画(A--B);绘制(圆(A，P，Q))；绘制(圆(B，P，Q))；标签("A",A,(-1,1));标签("P",P,(0,1.5));标签("B",B,(1,1));标签("Q",Q,(-0.5,-1.5)); [/asy]
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提示 1
先标出固定点、动点、角、圆和长度关系。
提示 2
尝试角追、相似、圆幂、面积比、反演或坐标化中的一种。
提示 3
把关键等式还原成标准定理，或补出一个让结构闭合的辅助点。
完整解答
这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1975 年 USAMO P4 可先归入几何：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。
这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？