2021 USAMO 第 4 题

A finite set $S$ of positive integers has the property that, for each $s\in S$, and each positive integer divisor $d$ of $s$, there exists a unique element $t \in S$ satisfying $\gcd(s,t)=d$ (the elements $s$ and $t$ could be equal).

Given this information, find all possible values for the number of elements of $S$.

正整数有限集 $S$ 具有以下性质：对于每个 $s\in S$ 以及 $s$ 的每个正整数除数 $d$，都存在一个唯一元素 $t \in S$ 满足 $\gcd(s,t)=d$(元素 $s$ 和 $t$ 可以相等)。

根据此信息，找到 $S$ 元素数量的所有可能值。