1975 USAMO 第 1 题

(a) Prove that

$$[5x]+[5y]\ge [3x+y]+[3y+x],$$

where $x,y\ge 0$ and $[u]$ denotes the greatest integer $\le u$ (e.g., $[\sqrt{2}]=1$).

(b) Using (a) or otherwise, prove that

$$\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}$$

is integral for all positive integral $m$ and $n$.

(a) 证明

$$[5x]+[5y]\ge [3x+y]+[3y+x],$$

其中 $x,y\ge 0$ 和 $[u]$ 表示最大整数 $\le u$(例如，$[\sqrt{2}]=1$)。

(b) 使用(a)或其他方式，证明

$$\frac{(5m)!(5n)!}{m!n!(3m+n)!(3n+m)!}$$

是所有正积分 $m$ 和 $n$ 的积分。