1991 USAMO 第 4 题

Let $\, a =\frac{m^{m+1} + n^{n+1}}{m^m + n^n}, \,$ where $\,m\,$ and $\,n\,$ are positive integers. Prove that $\,a^m + a^n \geq m^m + n^n$.

[You may wish to analyze the ratio $\,\frac{a^N - N^N}{a-N},$ for real $\, a \geq 0 \,$ and integer $\, N \ge 1$.]

设 $\, a =\frac{m^{m+1} + n^{n+1}}{m^m + n^n}, \,$ 其中 $\,m\,$ 和 $\,n\,$ 是正整数。证明 $\,a^m + a^n \geq m^m + n^n$。

[您可能希望分析实数 $\, a \geq 0 \,$ 和整数 $\, N \ge 1$ 的比率 $\,\frac{a^N - N^N}{a-N},$。]