2022 USAMO 第 5 题

A function $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ is $\textit{essentially increasing}$ if $f(s)\leq f(t)$ holds whenever $s\leq t$ are real numbers such that $f(s)\neq 0$ and $f(t)\neq 0$.

Find the smallest integer $k$ such that for any 2022 real numbers $x_1,x_2,\ldots , x_{2022},$ there exist $k$ essentially increasing functions $f_1,\ldots, f_k$ such that

$$

f_1(n) + f_2(n) + \cdots + f_k(n) = x_n\qquad \text{for every } n= 1,2,\ldots 2022.

$$

函数 $f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是 $\textit{本质上递增}$，如果只要 $s\leq t$ 是实数，使得 $f(s)\neq 0$ 和 $f(t)\neq 0$ 时 $f(s)\leq f(t)$ 成立。

找到最小整数 $k$，使得对于任何 2022 个实数 $x_1,x_2,\ldots , x_{2022},$ 都存在 $k$ 本质上递增的函数 $f_1,\ldots, f_k$ 使得

$$

f_1(n) + f_2(n) + \cdots + f_k(n) = x_n\qquad \text{对于每个 } n= 1,2,\ldots 2022。

$$