灯下 登录
番外 · 闲灯 / 美国数学奥林匹克 / P2 · geometry

1977 USAMO 第 2 题

书架 上一节 下一节
内容 1977 · 27
来源 context

题面据 USAMO 可核档案整理；中文题意为本站自译，公式请以原始来源为准。

USAMO 1977 P2 geometry

ABCABC and A′B′C′A'B'C' are two triangles in the same plane such that the lines AA′,BB′,CC′AA',BB',CC' are mutually parallel. Let [ABC][ABC] denote the area of triangle ABCABC with an appropriate ±\pm sign, etc.; prove that

$$

3([ABC]+ [A'B'C']) = [AB'C'] + [BC'A'] + [CA'B']+ [A'BC]+[B'CA] + [C'AB].

$$

ABCABC 和 A′B′C′A'B'C' 是同一平面上的两个三角形，使得线 AA′,BB′,CC′AA',BB',CC' 相互平行。令 [ABC][ABC] 表示三角形 ABCABC 的面积，并带有适当的 ±\pm 符号等；证明

3([ABC]+[A′B′C′])=[AB′C′]+[BC′A′]+[CA′B′]+[A′BC]+[B′CA]+[C′AB]。3([ABC]+ [A'B'C']) = [AB'C'] + [BC'A'] + [CA'B']+ [A'BC]+[B'CA] + [C'AB]。

提示 1

先标出固定点、动点、角、圆和长度关系。

提示 2

尝试角追、相似、圆幂、面积比、反演或坐标化中的一种。

提示 3

把关键等式还原成标准定理，或补出一个让结构闭合的辅助点。

完整解答

这页先给题面、题型和提示阶梯，完整证明留给读者逐步展开。1977 年 USAMO P2 可先归入几何：第一步把题设翻成对象、条件、目标三行；第二步沿提示寻找不变量、标准构型或关键变形；第三步补齐边界情形，并回到题目原要求核对。

闲谈 aside

这题适合先独立想一轮再打开提示。不要急着搜索完整解答，先问自己：题面里最硬的限制是哪一句？

我的笔记 自动保存